Приветствую тебя мой дорогой читатель!В данной книге содержится основной теоретический материал по теме "Уравнения и неравенства с параметрами". Данное пособие поможет тебе успешно освоить теоретический материал по данной теме.

              Краткий исторический очерк

Задачи на уравнения с параметром встречались уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. 

Формулы решения квадратных уравнений по Ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи – основа аналитического метода решения уравнений с параметром.

Уравнение,   которое может принимать различные значения из некоторой области, называется  . Эта дополнительная величина в уравнении называется параметром  . На самом деле с каждым параметрическим уравнением может быть указано множество.

В качестве примера можно привести следующую формулу:

у = kx, где x, y – переменные, k – параметр ;

у = kx + b, где x, y – переменные, k и b – параметр ;

ax + bх + с = 0, где x – переменные, а, b и с – параметр .

Решить уравнение (неравенство, систему) с параметром это значит, как правило, решить бесконечное множество уравнений (неравенств, систем).

Общий вид уравнения с одним параметром таков:   F(x,a)=0.

При различных значениях, а уравнение F(x,a)=0 может иметь различные множества корней, задача состоит в том, чтобы изучить все случаи, выяснить, что будет при любом значении параметра. При решении уравнений с параметром обычно приходится рассматривать много различных вариантов. Своевременное обнаружение хотя бы части невозможных вариантов имеет большое значение, так как освобождает от лишней работы.

Самыми простыми уравнениями с параметрами являются линейные уравнения с одним неизвестным.

Это уравнение вида ax=b, где a и b – некоторые действительные числа. Число a называется коэффициентом, b – свободным членом уравнения, x – переменная.

В зависимости от коэффициента a зависит и решение этого уравнения.

При а = 0, b≠0 уравнение не имеет корней, так как нет такого числа, которое при умножении на нуль, даст результат, отличный от нуля.

При а = 0, b = 0 уравнение имеет бесконечно много решений, решением является любое действительное число.

При а≠0 мы можем обе части уравнения разделить на a, имеем единственный корень, равный  x=b/а.

При решении линейных уравнений с параметрами качественное изменение происходит при переходе коэффициента a через нуль.

То есть контрольными значениями будут те значения коэффициента при переменной х, при которых он обращается в нуль, так как при таких значениях невозможно деление на коэффициент при х (а при иных значениях параметра такое деление возможно); следовательно, меняется процедура решения уравнения, в этом и состоит качественное изменение уравнения.

Линейные неравенства.

Неравенство, обе части которого являются линейными функциями относительно переменной, называются линейным.

В общем виде линейное неравенство записывается так: kx+l>mx+n

Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если их решения совпадают.

При решении неравенств опираемся на следующие теоремы о равносильных преобразованиях:

1. Если какой-либо член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.

2. Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, оставив при этом знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.

Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Выполнив равносильные преобразования неравенства kx+l=mx+n получаем: (k−m)x>n−1

Обозначив k−m=a,n−l=b, имеем ax>b

Как и в линейном уравнении, опять контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. 

Но для оценки качественного изменения неравенства следует учесть, что процедура решения неравенства зависит от знака коэффициента при х. 

Если этот коэффициент положителен, то мы используем одну теорему о равносильности неравенств, если этот коэффициент отрицателен, то мы используем другую теорему. Поэтому, осуществляя разбивку множества всех значений параметра на подмножества, будем рассматривать случаи a=0,a>0,a<0.

Структурируем информацию в виде логической схемы:

Уравнение вида ax2+bx+c=0 , a ≠ 0, где коэффициенты a,b,c – любые действительные числа, называется квадратным. 

При этом надо быть внимательным, если a=0 , то уравнение будет линейным, а не квадратным. Поэтому, первым делом при решении квадратного уравнения с параметром, рекомендую смотреть на коэффициент при x2 и рассматривать 2 случая: a=0 (линейное уравнение) и a не равное 0 (квадратное уравнение). 

Квадратное уравнение часто решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета.

То есть контрольными значениями будут значения коэффициента при переменной x2. 

Чтобы решить квадратное уравнение с параметром, нужно понять, при каких значениях параметра существуют корни, и найти их, выразив через параметр. Обычно это делается просто через анализ дискриминанта.