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Este livro foi criado para auxiliar os meus alunos.

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Probabilidades – Especificação dos temas:

Ø Probabilidade condicional

Ø Acontecimentos independentes

Ø Árvore de probabilidades

Ø Probabilidade Total. Regra de Bayes

Ø Distribuição de frequências e de probabilidades

Planificação

das

Aulas

1º Plano da Aula || 3 Blocos de 90m

Conteúdos :

Ø Probabilidade Condicionada

Objectivos:

Ø Conhecer a nomenclatura utilizada em Probabilidades

O que é a Probabilidade ?

A probabilidade faz parte do nosso dia a dia. É frequente ouvirmos frases que traduzem a ideia de probabilidade:

“ Levanto-me sempre cedo. É pouco provável que chegue atrasado às aulas.”

“Estudo muito. Tenho grandes probabilidades de ter boa nota no teste.”

“Nas próximas eleições, quem tem maior probabilidade de ganhar?”

Para cada um destes casos, existem diferentes graus de incerteza. Quantificar o grau de incerteza de acontecimentos, bem como prever e calcular os resultados devido ao acaso, são os objectivos do Cálculo de Probabilidades.

O que é a Probabilidade Condicionada ?

A noção de probabilidade condicional é, em geral, intuitiva quando é aplicada no cálculo de probabilidades de cadeias de acontecimentos: ao retirar bolas de uma urna sucessivamente, sem reposição, a composição do conteúdo da urna altera-se e a probabilidade de se retirar certo tipo de bola depende dos tipos que saíram nas extracções anteriores.

A probabilidade de A condicionada por B (ou dado A, ou sabendo que B) é definida por:

Objectivos de Probabilidade Condicionada :

Ø Compreender a noção de probabilidade condicional através de exemplos práticos.

Ø Mostrar a grande utilidade das árvores de probabilidades como instrumento de organização de informação quando se está perante uma cadeia de experiências aleatórias.

Ø Ilustrar a forma de cálculo de probabilidades de acontecimentos utilizando uma árvore de probabilidades (ver igualmente exemplos e exercícios resolvidos em aula).

Ø Apresentar a definição de probabilidade condicional (tomando como base uma representação em diagrama de Venn).

Exemplo 1 :

Uma caixa tem 5 bolas Azuis, 8 bolas Verdes e 4 bolas Brancas.

Ao retirar sucessivamente 3 bolas, sem reposição, qual a probabilidade da primeira ser Azul, a segunda Verde e a terceira Branca ?

E qual a probabilidade de saírem 3 bolas de cores diferentes?

Exemplo 2 :

O Ricardo e a Inês estão a jogar à bisca com um baralho de 52 cartas. Neste jogo retiram-se do baralho os 8,9 e 10 de cada naipe, restando assim 40 cartas (10 de capa naipe).

No início são distribuídas 3 cartas a cada jogador. Admitindo que o Ricardo é o primeiro a receber as 3 cartas, qual é a probabilidade de lhe calhar 3 Ases?

Exemplo 3 :

Perguntou-se aos 15 alunos de uma turma (9 rapazes e 6 raparigas) de qual dos dois tipos de música gostavam mais : “Metálica” ou “Rap”.

Também tinham em alternativa dizer que não gostavam de nenhum destes dois tipos de música. Como resultado deste inquérito obteve-se a seguinte tabela:

2º Plano da Aula || 3 Blocos de 90m

Conteúdos :

Ø Acontecimentos Independentes

Objectivos:

Ø Apresentar a definição de acontecimentos independentes.
Ø Utilizar a definição de probabilidade condicional para formalizar a noção intuitiva de acontecimentos independentes

O que são os Acontecimentos Independentes ?

Dois acontecimentos dizem-se independentes se:

Isto significa que ,
ou seja, que a ocorrência de B não tem qualquer efeito sobre a probabilidade de acontecer A.

Exemplo 1:

Uma caixa tem 5 bolas Azuis, 8 bolas Verdes e 4 bolas Brancas. Ao retirar sucessivamente 3 bolas, sem reposição, qual a probabilidade da primeira ser Azul, a segunda Verde e a terceira Branca? E qual a probabilidade de saírem 3 bolas de cores diferentes?

Supondo que, de cada vez que se retira uma bola, se regista a sua cor e se volta a colocar a bola na caixa (extracção com reposição). Qual é agora a probabilidade de retirar primeiro uma bola Azul, depois uma Verde e a seguir uma Branca?

Exemplo 2:

Um jogo de computador tem três níveis cada vez mais difíceis de passar. O Hugo já se considera bastante treinado nesse jogo e por isso considera que a sua probabilidade de passar para o nível 1 é de 95% , quando consegue passar o nível 1,a probabilidade de também conseguir o nível 2 é de 80% e , ultrapassados os dois primeiros níveis, a probabilidade de conseguir chegar ao fim do nível de 3 é de 70%.

O Hugo vai iniciar um novo jogo. Qual é a probabilidade que ele tem de o conseguir terminar? E qual é a probabilidade de chegar ao fim do nível 2?

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