Учителю по математике часто приходится сталкиваться с отсутствием у старшеклассников навыков решения простейших уравнений и неравенств с модулем. Между тем среди заданий С3 или С5 из ЕГЭ по математике таковые могут встретиться. Даже если их не будет на экзамене в явном виде, в процессе выполнения некоторых задач из ЕГЭ вам, возможно, придется столкнуться с решением того или иного задания с модулем. Поэтому научиться решать уравнения и неравенства с модулем должен каждый выпускник средней школы. В данной книге рассмотрены некоторые способы их решения.

Модуль числа

   Обозначим на координатной прямой две точки, которые соответствуют числам «−4 » и 2.

  Точка «A», соответствующая числу «−4 », находится на расстоянии 4 единичных отрезков от точки 0 (начала отсчёта), то есть длина отрезка «OA» равна 4  единицам.

  Число 4 (длина отрезка «OA ») называют модулем числа «−4 ».

     Обозначают модуль числа так:|−4| = 4 

 Читают символы выше следующим образом: «модуль числа минус четыре равен четырём».

   Точка «B», соответствующая числу «+2 », находится на расстоянии двух единичных отрезков от начала отсчёта, то есть длина отрезка «OB» равна двум единицам.

 Число 2 называют модулем числа «+2 » и записывают:|+2| = 2 или|2| = 2.

   Если взять некоторое число «a» и изобразить его точкой «A» на координатной прямой, то расстояние от точки «A» до начала отсчёта (другими словами длина отрезка «OA») и будет называться модулем числа «a ».

|a| = OA

Запомните!

Модулем рационального числа называют расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, соответствующей этому числу.

   Так как расстояние (длина отрезка) может выражаться только положительным числом или нулём, можно сказать, что модуль числа не может быть отрицательным.

   Запишем свойства модуля с помощью буквенных выражений, рассмотрев все возможные случаи.

Примеры модулей рациональных чисел:

Определение 

Модуль числа x — это либо само это число, если оно неотрицательно, либо число, ему противоположное, если исходный  — всё-таки отрицателен.

Говоря простым языком, модуль — это «число без минуса». И именно в этой двойственности (где-то с исходным числом ничего не надо делать, а где-то придётся убрать какой-то там минус) и заключается вся сложность для начинающих учеников.