Cuprins

Aplicații în viața cotidiană                                                                pag.12

Obiective

* să definesc proprietăţile triunghiului dreptunghuic

*să prezint succint şi explicit relaţiile metrice în triunghiul dreptunghic

*să prezint situaţii concrete din viaţa cotidiană de aplicare a acestor relaţii 

În geometria plană, un triunghi dreptunghic este triunghiul care are un unghi drept (π/2 radiani sau 90°). Latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză și este cea mai mare. Celelalte două laturi se numesc catete.

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul înălțimii este egal cu produsul proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.

Fie ABC un triunghi dreptunghic în A. Catetele sunt AB și AC, iar ipotenuza este BC. Notăm cu AD înălțimea triunghiului, AD⊥BC. Proiecția catetei AB pe ipotenuză este BD, iar proiecția catetei AC pe ipotenuză este CD. Atunci, conform teoremei înălțimii, are loc relația:

AD = BD∙CD.

Problema 1

Fie MNP un triunghi dreptunghic în M și fie MO⊥NP. Dacă MO=6 cm și OP=9 cm, aflați lungimea ipotenuzei NP.

Rezolvare:

Aplicăm teorema înălțimii MO = NO∙OP și vom înlocui lungimile cunoscute MO = 6 și OP = 9:

36=NO ∙ 9 ⟹ NO=36:9=4 cm.

NP = NO+OP = 4+9 = 13 cm.

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul unei catete este produsul dintre ipotenuză și proiecția catetei pe ipotenuză.

Fie triunghiul ABC dreptunghic în A și fie AD⊥BC. Catetele sunt AB și AC, iar ipotenuza este BC. Proiecția catetei AB pe ipotenuză este BD, iar proiecția catetei AC pe ipotenuză este DC. Atunci, conform teoremei catetei, au loc relațiile:

AB = BD∙BC
AC = DC∙BC.

Problema 1

Fie ABC un triunghi dreptunghic în A, cu AB= cm și BC=12 cm. Aflați lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei și perimetrul triunghiului ABC.

Rezolvare:

1.Pentru a afla înălțimea AD, trebuie mai întâi să aflăm proiecțiile catetelor pe ipotenuză. Pentru a afla lungimea proiecțiilor BD și CD, vom aplica teorema catetei:

AB=BD∙BC
(6√3)=BD ∙ 12
36 ∙ 3=BD ∙ 12 |:12
BD=9 cm.

DC=BC-BD=12-9=3 cm.

2.Acum aplicăm teorema înălțimii pentru a afla AD:

AD=BD ∙ DC
AD=9 ∙ 3=27

3.Pentru a afla perimetul triunghiului ABC, trebuie mai întâi să calculăm lungimea catetei AC, folosind teorema catetei:

AC=DC∙BC=12∙3=36
AC=√36=6 cm.

4.În continuare vom calcula perimetrul triunghiului ABC.

P = AB+BC+AC = 6√3 +12+6 = 18+ 6√3 cm.